ESTRUCTURAS GEOMÉTRICAS PARA LAS VARIEDADES DIFERENCIALES
Gabriel Larrotonda, UBA, Buenos Aires
Programa tentativo:
Clase 1: Repaso de variedades y cartas. Normas en espacios lineales, convexidad uniforme. Métricas de Finsler y Riemann. Geodésicas. El enfoque variacional. Repaso de matrices y operadores, cálculo funcional.
Clase 2: Sprays y conexiones. EL spray métrico y la derivada de Levi-Civita. Ejempolos en espacios homogéneos de grupos de matrices.
Clase 3: El teorema de Hopf-Rinow, minimalidad de geodésicas del spray. Ejemplos en espacios no completos y minimalidad en espacios de dimensión infinita.
Bibliografía: ver las notas "Estructuras geométricas para las variedades de Banach" aquí y las referencias que allí se encuentran.
Requisitos: conocimientos básicos de geometría diferencial (cartas y atlas) y análisis funcional (cálculo funcional y ODEs).
INFORMACIÓN Y AZAR
Verónica Becher, UBA, Buenos Aires
Programa tentativo:
¿Por qué sólo la última de estas tres secuencias parece haber sido obtenida tirando una moneda equilibrada?
1111111111111111111111111111111111... todos 1's
010010001000010000010000001000000... bloques incrementales de 0's
001010111010010110100001011111001... (sin patrón)
¿Cuál tiene más "información"?
¿Puede una computadora arrojar una secuencia al azar?
Veremos una introducción a la complejidad de Kolmogorov/Chaitin, también llamada complejidad de largo de programa. Esta medida de complejidad sobre secuencias finitas da una noción interesante de "cantidad de información". Entre sus aplicaciones veremos la definición de azar (aleatoriedad), y la noción de distancia informacional.
ÁLGEBRA LINEAL EN DIMENSIÓN INFINITA
Guillermo Cortiñas, UBA, Buenos Aires
Programa tentativo:
Usualmente los programas de la licenciatura en matemática incluyen, en primer o segundo año, un curso sobre álgebra lineal en dimensión finita, donde se ven teoremas clásicos acerca de formas canónicas de matrices, tales como, por ejemplo, la diagonalizabilidad de matrices autoadjuntas.
El objeto de este curso es ver en qué medida esos teoremas se generalizan a matrices infinitas. Desde este punto de vista matricial (y por tanto elemental), se mostrarán teoremas (algunos clásicos y otros más modernos), de la teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert, que son relevantes en distintas ramas de la matemática.
MÉTODOS MATEMÁTICOS EN ECONOMÍA
Fernando Tohmé, UNS, Bahía Blanca
Programa tentativo:
Equilibrio económico: descripción de sistemas económicos; equilibrio de Nash; competencia perfecta y optimalidad; economía con infinitos agentes; economías no-atómicas.
Conocimiento y creencia: teoría epistémica de juegos; conocimiento común; soluciones y creencias.
Agregación de preferencias: teorema de Arrow; sistemas de votación; manipulación y diseño de mecanismos de asignación.
OPTIMIZACIÓN ABSTRACTA: UNA INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN EN ESPACIOS DE FUNCIONES
Pablo Lotito, UNCPBA, Tandil
Programa tentativo:
La teoría de optimización (convexa) en Rn está ampliamente desarrollada. Su extensión a espacios funcionales no es inmediata, un primer escollo es la no compacidad de la bola unitaria. En este curso se hará una introducción a los resultados que se conocen actualmente.
Introducción: revisión de resultados de optimización no lineal en Rn como teoremas de existencia, condiciones de optimalidad de primer orden (T. de Lagrange y de Karush-Kuhn-Tucker), condiciones de segundo orden, calificación de restricciones y análisis de sensibilidad.
Extensión a espacios funcionales: derivación en espacios de Banach, teorema de la función implícita y de la función suryectiva, teoremas de existencia, extensión de las condiciones de optimalidad (principio de Pontryagyn), calificación de restricciones y análisis de sensibildad.
Se expondrán algunos ejemplos de aplicación a problemas de control óptimo.
Requisitos: cálculo diferencial y nociones de espacios de Banach.
Material del curso:
Pueden descargarlo desde aquí.
ESTRUCTURAS COMBINATORIAS Y FUNCIONES GENERATRICES
Rodrigo Iglesias, UNS, Bahía Blanca
En este curso veremos cómo estructuras discretas (como árboles, grafos, particiones, etc.) se mueven detrás de la escena de muchas identidades o teoremas en álgebra o análisis.
Las series generatrices son una herramienta clásica para problemas enumerativos.
En los años 80', A. Joyal desarrolló la teoría de "especies combinatorias" como una forma de sistematizar la conexión entre las operaciones sobre estructuras combinatorias y las operaciones analíticas sobre funciones generatrices.
Así, la suma, producto, composición, derivación, etc, de funciones analíticas se interpretan como "sombras" de ciertas operaciones sobre objetos combinatorios con estructuras más ricas.
Este curso será una introducción básica a la teoría de especies combinatorias, a través de ejemplos.
Programa tentativo:
Pruebas combinatoriales vs. algebraicas. Ejemplos: q-números, particiones.
Acciones del grupo simétrico. órbitas y estabilizadores. Especies. Series generatrices. Ejemplos: árboles, vertebrados, permutaciones, ciclos. Suma, producto y sustitución de especies. Aplicación: teorema de Cayley sobre el número de árboles. Cálculo diferencial de especies.
Serie de tipos de estructuras. Serie indicatriz de ciclos. Teoría de Polya.
SISTEMAS HAMILTONIANOS E INTEGRABILIDAD
Hugo Montani, Centro Atómico Bariloche, Bariloche
Programa tentativo:
Variedades de Poisson. Variedades simplécticas. Acciones de grupos. Aplicación momento. Sistemas integrables. Teorema de Liouville Arnold. Sistemas colectivos. Integrabilidad no conmutativa.
SUPERFICIES MÍNIMAS
Laura Barberis, FAMaF, Córdoba
Programa tentativo:
Las superficies mínimas se caracterizan por tener curvatura media nula. Si bien su estudio fue iniciado por Euler y Lagrange a mediados del siglo XVIII, nuevos ejemplos de tales superficies han sido descubiertos recientemente. Los ejemplos clásicos surgieron como soluciones del problema de Plateau, que consiste en hallar superficies de área mínima entre las que tienen por borde una curva dada. En los últimos años se ha intensificado el estudio de estas superficies, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de materiales, dadas sus aplicaciones a la nanotecnología.
Definiremos los conceptos básicos de la geometría diferencial de superficies: primera y segunda forma fundamental, curvatura media y curvatura gaussiana. Mostraremos ejemplos de superficies mínimas y demostraremos que en el caso de superficies regladas y de revolución los ejemplos son esencialmente el plano, el catenoide y el helicoide.
Daremos una descripción de las superficies mínimas en términos de funciones holomorfas y aplicaremos este resultado para obtener ejemplos interesantes.
Describiremos además la relación entre las superficies mínimas y variedades de dimensión arbitraria con métricas Ricci-planas. El estudio de métricas Ricci-planas, que son un caso particular de métricas de Einstein, está motivado por sus aplicaciones en relatividad general, supersimetría y supergravedad.
Requisitos: cálculo en varias variables. Nociones básicas de funciones de una variable compleja (no excluyente).
INECUACIONES VARIACIONALES, OPTIMIZACIÓN Y CONTROL ÓPTIMO
Domingo Tarzia, Universidad Austral, Rosario
Programa tentativo:
Cálculo de variaciones clásico. Ecuación de Euler-Lagrange. Principio variacional de Hamilton.
Inecuaciones variacionales elípticas. Teoremas de Stampacchia y de Lions-Stampacchia.
Diferenciabilidad según Gâteaux. Relación entre problemas de mínimo e inecuaciones variacionales elípticas.
Aplicaciones de las inecuaciones variacionales elípticas a problemas de frontera libre: pared semi-permeable, obstáculo, fluido de Bingham, dique poroso, Stefan a dos fases.
Aproximación numérica. Teorema de Cea.
Control óptimo de sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales parciales elípticas. Condición de optimalidad y estado adjunto.
Requisitos: conocimientos básicos en ecuaciones diferenciales y en análisis funcional.
Material del curso:
Pueden descargarlo desde aquí (son 38MiB).