Programa del curso
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones no lineales de primer orden: Bernoulli y Riccati. Ecuaciones diferenciales lineales. Wronskiano. Soluciones de ecuaciones homogéneas e inhomogéneas. Lema de Abel. Método de variación de parámetros. Método de reducción de orden. Puntos ordinarios. Puntos singulares regulares e irregulares. Solución mediante series de potencias: Método de Frobenius. Ecuaciones diferenciales especiales: Hipergeométrica, de Bessel, de Legendre, etc. Desarrollos en el infinito.
2. Problema de Sturm–Liouville
Producto interno entre funciones. Sistemas de funciones ortogonales. Desigualdad de Bessel. Propiedades de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoremas de separación, oscilación y comparación de Sturm. Autofunciones y autovalores. Operadores autoadjuntos. Fórmulas de Lagrange y Green. Problema de Sturm–Liouville regular.
3. Serie de Fourier
Definición de serie de Fourier. Condiciones para que una serie de Fourier converja a la función. Series en seno y en coseno. Forma compleja. Convergencias puntual y en media. Desigualdad de Bessel e Identidad de Parseval. Aplicaciones de la serie de Fourier.
4. Función de Green
Ecuaciones diferenciales lineales con funciones impulsivas. Función de Green. Función de Green para el operador de Sturm–Liouville. Desarrollo en serie para la función de Green. Aplicaciones a vigas cargadas y conductores eléctricos cargados.
5. Distribuciones
Distribuciones. Delta de Dirac. Sucesiones y distribuciones. Función salto. Representaciones y cálculos con distribuciones. Aplicaciones.
6. Transformada de Laplace
Transformadas integrales. Transformada de Laplace. Fórmulas de inversión. Transformada de Laplace de distribuciones. Convolución: Aplicaciones. Resolución de ecuaciones diferenciales con transformadas..
7. Transformada de Fourier
Fórmula integral de Fourier. Fórmulas de inversión. Aplicaciones. Transformada de Fourier directa e inversa. Propiedades de la transformada de Fourier, teorema de Parseval. Transformada de Fourier de distribuciones. Transformada seno y coseno. Convolución, correlación y autocorrelación: aplicaciones. Resolución de ecuaciones diferenciales con transformadas. Otros tipos de transformada.
8. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Ecuaciones de primer orden. Onda simple. Ecuaciones casi lineales. Ecuaciones de segundo orden Clasificación. Ecuaciones del tipo hiperbólico, parabólico y elíptico. Transformadas integrales con varias variables. Funciones de Green con varias variables. Método de separación de variables.
9. Ecuaciones hiperbólicas
Ecuaciones diferenciales del tipo hiperbólico. Problemas tipo. Condiciones de contorno e iniciales. Teorema de unicidad. Método de D’Alembert. Método de separación de variables. Ecuaciones no homogéneas. Función de Green. Analogías físicas. Oscilaciones de cuerdas y membranas. Propagación de ondas en el espacio. Ecuaciones del campo electromagnético. Potenciales del campo electromagnético..
10. Ecuaciones parabólicas
Ecuaciones diferenciales del tipo parabólico. Propagación del calor. Ecuación de difusión. Condiciones de contorno. Separación de variables. Función influencia (o de fuente puntual). Funciones de Green para las condiciones de contorno e iniciales.
11. Ecuaciones elípticas
Ecuaciones diferenciales del tipo elíptico. Ecuación de Laplace en coordenadas curvilíneas, soluciones particulares. Funciones armónicas. Separación de variables. Integral de Poisson. Función de la fuente. Teoría del potencial. Desarrollo en multipolos. Teorema de Helmholtz. Transformación conforme. Ecuación biarmónica.
12. Funciones especiales
Funciones especiales de la Física–Matemática. Funciones cilíndricas de Bessel, Hankel, y Neumann. Funciones esféricas: polinomios de Legendre y armónicos esféricos. Polinomios de Hermite y de Laguerre. Funciones hipergeométrica e hipergeométrica confluente. Funciones Gamma, error y relacionadas.
13. Desarrollos asintóticos
Desarrollos asintóticos. Expansión asintótica de funciones integrales. Método de la fase estacionaria. Orden dominante en ecuaciones diferenciales. Problemas singulares irregulares. Empalme de soluciones asintóticas.
14. Ecuaciones Integrales
Ecuaciones Integrales. Ecuaciones del tipo de Fredholm y de Volterra. Ecuaciones integrales resueltas por transformadas